Question

如图所示的平面直角坐标系中，有一条抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之和最小？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3），
∴，
解得：，
∴二次函数y=ax²+bx+c的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）存在．
令y=0，即x²-2x-3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴点A（-1，0），
∵点A与B关于x=1对称，
∴连接BC，则直线BC与直线x=1的交点即为P点，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
当x=1时，y=1-3=-2，
∴点P的坐标为（1，-2）．
分析：（1）由抛物线的对称轴为x=1，B（3，0），C（0，-3），即可利用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）首先由A与B对称，连接BC即可确定点P的坐标，然后求得直线BC的解析式，求与x=1的交点即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式与两点间距离最短的问题．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．