Question

5．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G．若CG=6，CF=4，则AE的长为$2\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 先用正方形的性质得出结论，判断出，△ABE≌△CBE，得出AE=CE，然后判断出四边形EFCG是矩形，用勾股定理求出CE即可．

解答 解：如图，连接CE，

∵BD是正方形的对角线，
∴∠BCD=90°，∠ABE=∠CBE=45°，AB=BC
在△ABE和△CBE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EGC=∠∠CFE=90°，
∴∠EGC=∠CFE=∠BCD=90°，
∴四边形EFCG是矩形，
∴EF=CG=6，
根据勾股定理得，CE=$\sqrt{E{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

点评 此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解本题的关键是判断出AE=CE．