Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0 ?

（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由

（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）， 或；（2）P；（3）

【解析】

（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）带入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y﹤0；

（2）设出P点坐标，利用割补法将△ACP 面积转化为，带入各个三角形面积算法可得出与m之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；

（3）分两种情况讨论，一种是CM平行于x轴，另一种是CM不平行于x轴，画出点Q大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q坐标的方程，解出即可得到Q点坐标.

解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得：

解得：

∴二次函数解析式为.

由图像可知，当或时y﹤0；

综上：二次函数解析式为，当或时y﹤0；

（2）设点P坐标为，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.

PM=，PN=，AO=3.

当时，，所以OC=2

，

∵

∴函数有最大值，

当时，有最大值，

此时；

所以存在点，使△ACP 面积最大.

（3）存在，

假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形

①若CM平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点此时=

∵CM∥x轴，

∴点M、点C（0,2）关于对称轴对称，

∴M（﹣2,2），

∴CM=2.

由=；

②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G，

易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即.

设M（x，﹣2），则有，解得：.

又QG=3,∴，

∴

综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，

Q点坐标为：

.