Question

（1）探究新知：如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：如图2，点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F． 试证明：MN∥EF．
（3）变式探究：如图3，点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，过点M作MG⊥x轴，过点N作NH⊥y轴，垂足分别为E、F、G、H．试证明：EF∥GH．

Answer 1

分析：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°，根据△ABC与△ABD的面积相等，证明AB与CD的位置关系；
（2）连结MF，NE，设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂），进一步证明S_△EFM=S_△EFN，结合（1）的结论即可得到MN∥EF；
（3）连接FM、EN、MN，结合（2）的结论证明出MN∥EF，GH∥MN，于是证明出EF∥GH．

解答：（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，则∠CGA=∠DHB=90°．
∴CG∥DH．
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴CG=DH．
∴四边形CGHD为平行四边形．
∴AB∥CD．

（2）证明：连结MF，NE．
设点M的坐标为（x₁，y₁），点N的坐标为（x₂，y₂）．
∵点M，N在反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k．
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴OE=y₁，OF=x₂．
∴S_△EFM=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，
S_△EFN=

1

2

x2y2=

1

2

k．
∴S_△EFM=S_△EFN．
由（1）中的结论可知：MN∥EF．  

（3）证明：连接FM、EN、MN，
同（2）可证MN∥EF，
同法可证GH∥MN，
故EF∥GH．

点评：本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是根据同底等高的两个三角形面积相等进行解答问题，此题难度不是很大，但是三问之间都有一定的联系．