Question

2．将等腰△ABC与等腰△BDE，如图摆放，其中∠ACB=∠BDE=90°，点C在BD上，连AE，取AE的中点F，连CF、DF．
（1）求证：CF=DF，CF⊥DF．
（2）如图，当点C不在BD上时（45°＜∠CBD＜90°，A、C、D三点不共线），其他条件均不变，（1）中的结论是否任然成立？请说明理由？

Answer 1

分析 （1）连接BF，延长CF交AC于点G，利用等腰三角形的性质得到∠FBE=∠FEB，可证得CG∥BC，得出△CDG为等腰直角三角形，再证明△ACF≌△GEF，即可得到结论；
（2）取AB，BE的中点M，N，连接CM，DN，MF，NF，根据等腰直角三角形的性质得到CM⊥AB，DN⊥BE，根据三角形的中位线的性质得到MF∥BE，MF=$\frac{1}{2}$BE，推出四边形MBNF是平行四边形，于是得到∠FMB=∠FNB，根据全等三角形的性质得到CF=DF，∠CFM=∠FDN，由周角的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：连接BF，延长CF交DE于点G，
∵∠ABC=∠DBE=45°，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，F为斜边中点，
∴BF=AF，
∴∠FBE=∠FEB，
在△AFC与△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{CF=CF}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BFC，
∴∠AFC=∠BFC，
∵∠AFB=∠FBE+∠FEB，
∴∠AFC+∠BFC=∠FBE+∠FEB，
∴2∠CFB=2∠FBE，
则∠CFB=∠FBE，
∴CG∥BE，
∵△BDE为等腰直角三角形，且CG∥BC，DB=DE，
∴DC=DG，BC=EG，
∵CB=AC，
∴AC=EG，
∵∠ACB=∠BDE=90°，
∴DE∥AC，
∴∠CAF=∠GEF，
在△ACF和△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=EF}\\{∠CAF=∠GEF}\\{AC=GE}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△GEF（SAS），
∴CF=FG，
∵△DCG为等腰直角三角形，
∴DF⊥CG；
∵F为CG中点，
∴DF=CF；

（2）（1）中的结论成立，
理由：取AB，BE的中点M，N，连接CM，DN，MF，NF，
∵△ABC与△BDE是等腰直角三角形，
∴CM⊥AB，DN⊥BE，
∵F为AE中点，
∴MF∥BE，MF=$\frac{1}{2}$BE，
∴MF=BN，
∴四边形MBNF是平行四边形，
∴∠FMB=∠FNB，∠CMF=90°-∠FMB，∠FND=90°-∠FNB，
∴∠CMF=∠DNF，
∵CM=BM=FN，FM=BN=DN，
在△CMF与△FND中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=FN}\\{∠CMF=∠FND}\\{MF=DN}\end{array}\right.$，
∴△CMF≌△FND，
∴CF=DF，∠CFM=∠FDN，
∵∠CFD=360°-∠CFM-∠MFN-∠DFN
=360°-（∠FDN+∠DFN）-（180°-∠FNB）
=360°-（180°-∠DNF）-180°+∠FNB
=∠DNF+∠FNB=90°，
∴CF⊥DF，CF=DF．

点评 本题主要考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．