Question

【题目】已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．

Answer 1

【答案】(1) k＞﹣；(2)1

【解析】

（1）根据根的判别式得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，根据完全平方公式变形后代入，得出[-（2k+1）]2-2（k2-2）=11，再求出即可．

（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴△＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，

解得：k＞﹣，

即k的取值范围是k＞﹣；

（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2﹣2，

∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝11，

[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，

解得：k＝﹣3或1，

∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，

必须k≥﹣，

∴k＝﹣3舍去，

所以k＝1．