Question

19．如图，点A在反比例函数y=$\frac{12}{x}$第一象限的图象上，连接AO，延长AO与双曲线的另一支交于点B，作OA的垂直平分线l，交OA于点P，交y轴于点C，交x轴于点D．
（1）在图1中，当BD=BC，直接写出A，B，P三点的坐标，并求出直线l的解析式．
（2）当点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，2）时，利用图2，求△ADB的面积．

Answer 1

分析 （1）过P作PM⊥OD于点M，根据BD=BC，BA⊥CD，PO=PA得出四边形ODAC是正方形，再求出S_{正方形ODAC}=12，得出OD=AD=2$\sqrt{3}$，从而求出A、B点的坐标，再根据OM=PM=$\frac{1}{2}$OD=$\sqrt{3}$，求出P点的坐标即可；
（2）过A作AN⊥OD于点N，先求出OP的长，根据△OPM∽△ODP得出$\frac{OM}{OP}$=$\frac{PM}{DP}$，求出DP，根据P点是OA的中点，求出AB=10，最后根据S_△ADB=$\frac{1}{2}$AB•DP代入计算即可．

解答 解：（1）如图1：过P作PM⊥OD于点M，
∵BD=BC，BA⊥CD，
∴PC=PD，
∵PO=PA，
∴四边形ODAC是菱形，
∵∠COD=90°，
∴四边形ODAC是正方形，
∵点A在反比例函数y=$\frac{12}{x}$第一象限的图象上，
∴S_{正方形ODAC}=12，
∴OD=AD=2$\sqrt{3}$，
∴A点的坐标是（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），OM=PM=$\frac{1}{2}$OD=$\sqrt{3}$，
∴B点的坐标是（-2$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），P点的坐标是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
设直线l的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=\sqrt{3}k+b}\\{0=2\sqrt{3}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴直线l的解析式为：y=-x+2$\sqrt{3}$；

（2）如图2：过A作AN⊥OD于点N，
∵点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，2），
∴OM=$\frac{3}{2}$，PM=2，
∴OP=$\sqrt{O{M}^{2}+P{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵DP⊥OP，PM⊥OM，
∴△OPM∽△ODP，
∴$\frac{OM}{OP}$=$\frac{PM}{DP}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{2}{DP}$，
∴DP=$\frac{10}{3}$，
∵P点是OA的中点，
∴AO=2OP=5，
∴BO=5，
∴AB=10，
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}$AB•DP=$\frac{1}{2}$×10×$\frac{10}{3}$=$\frac{50}{3}$．

点评 此题考查了反比例函数综合，用到的知识点是反比例函数的图象与性质、勾股定理、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，综合利用有关性质求出面积．