Question

13．如图，P为∠AOB内一点，OC=m（m为正数），过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．C为射线OA上任一点，连结CP并延长交OB于N点

（1）若∠AOB=60°，OQ：OM：MC=1：4：2，探索CN、ON、OC之间的数量关系并加以证明．
（2）当点P在边∠AOB的平分线上运动时，问：$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值是否发生变化？如果变化，指出该值随m的变化情况；如果不变，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，二次函数y=ax²+bx+c的x与y的部分对应值如下表：

x	…	-1	0	1	2	…
y	…	-1	3	5	5	…

若m的值是关于x的方程ax²+（b-1）x+c=0中较大的根，菱形OMPQ的面积为S₁，△NOC的面积为S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1，作NH⊥OC于H，设OQ=x，则OM=4x，MC=2x，先判断四边形OQPM为平行四边形得到PQ=OM=4x，再证明△NQP∽△NOC，利用相似比得到NQ=2x，接着在Rt△NOH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=$\frac{3}{2}$x，NH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x，则CH=$\frac{9}{2}$x，则利用勾股定理可计算出CN=3$\sqrt{3}$x，从而得到ON：CN：OC的比值；
（2）如图2，先证明四边形OQPM为菱形得到PQ=PM=OM，再证明△NQP∽△NOC，利用比例线段得到$\frac{OM}{OC}$=$\frac{NP}{NC}$①，同理可得$\frac{OM}{ON}$=$\frac{CP}{NC}$②，则把①与②相加得$\frac{OM}{OC}$+$\frac{OM}{ON}$=1，从而得到$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{m}$，所以判断$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值随m的变化而发生变化；
（3）利用待定系数法确定抛物线解析式为y=-x²+3x+3，则关于x的方程ax²+（b-1）x+c=0化为-x²+2x+3=0，解方程得到m=3，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，如图2，根据角平分线性质得到PE=PF，再利用菱形的面积公式和三角形面积公式得到S₁=OM•PF，S₂=$\frac{1}{2}$•PF•（ON+OC），所以$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{OM}{\frac{1}{2}（ON+3）}$，设$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=t，则$\frac{OM}{\frac{1}{2}（ON+3）}$=t，用OM和t表示出ON，再代入$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{3}$得$\frac{1}{OM}$-$\frac{t}{2OM-3t}$=$\frac{1}{3}$，整理得关于OM的一元二次方程2OM²-6OM+9t=0，然后利用判别式的意义可确定t的范围．

解答 解：（1）ON：CN：OC=1：$\sqrt{3}$：2．理由如下：
如图1，作NH⊥OC于H，
设OQ=x，则OM=4x，MC=2x，
∵PQ∥OC，PM∥OB，
∴四边形OQPM为平行四边形，
∴PQ=OM=4x，
∵PQ∥OC，
∴△NQP∽△NOC，
∴$\frac{NQ}{NO}$=$\frac{QP}{OC}$，即$\frac{NQ}{NQ+x}$=$\frac{4x}{4x+2x}$，解得NQ=2x，
在Rt△NOH中，∵∠O=60°，
∴OH=$\frac{1}{2}$ON=$\frac{3}{2}$x，NH=$\sqrt{3}$OH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x，
∴CH=OC-OH=6x-$\frac{3}{2}$x=$\frac{9}{2}$x，
在Rt△NHC中，CN=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}x）^{2}+（\frac{9}{2}x）^{2}}$=3$\sqrt{3}$x，
∴ON：CN：OC=3x：3$\sqrt{3}$x：6x=1：$\sqrt{3}$：2；
（2）$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值发生变化，$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{m}$．
如图2，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP=∠BOP，
而PQ∥OC，
∴∠AOP=∠QPO，
∴∠QPO=∠BOP，
∴QO=QP，
∴四边形OQPM为菱形，
∴PQ=PM=OM，
∵PQ∥OC，
∴△NQP∽△NOC，
∴$\frac{PQ}{OC}$=$\frac{NP}{NC}$，即$\frac{OM}{OC}$=$\frac{NP}{NC}$①，
∵PM∥ON，
∴△CPM∽△CNO，
∴$\frac{PM}{ON}$=$\frac{CP}{NC}$，即$\frac{OM}{ON}$=$\frac{CP}{NC}$②，
①+②得$\frac{OM}{OC}$+$\frac{OM}{ON}$=$\frac{NP}{NC}$+$\frac{CP}{NC}$=1，
∴$\frac{1}{OC}$+$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{OM}$，
∴$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{m}$；
（3）把（0，3）、（-1，-1），（1，5）代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a-b+c=-1}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+3x+3，
关于x的方程ax²+（b-1）x+c=0化为-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴m=3，
作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，如图2，则PE=PF，
∴S₁=OM•PF，S₂=$\frac{1}{2}$PE•ON+$\frac{1}{2}$PF•OC=$\frac{1}{2}$•PF•（ON+OC）
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{OM}{\frac{1}{2}（ON+3）}$，
设$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=t，则$\frac{OM}{\frac{1}{2}（ON+3）}$=t，
∴ON=$\frac{2OM-3t}{t}$，
∵$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{OM}$-$\frac{t}{2OM-3t}$=$\frac{1}{3}$，
整理得2OM²-6OM+9t=0，
△=62-4×2×9t≥0，解得t≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握角平分线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质和比例的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；灵活应用相似比和勾股定理进行几何计算；会利用判别式解决最值问题．