Question

13．如图，直线l₁，l₂交于点A，直线l₂与x轴、y轴分别交于点B（-4，0）、D（0，4），直线l₁所对应的函数关系式为y=-2x-2．
（1）求点E的坐标及直线l₂所对应的函数关系式；
（2）求△AED的面积；
（3）P是线段BD上的一个动点（点P与B、D不重合）．设点P的坐标为（m，n），△PBC的面积为S，写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据直线l₁所对应的函数关系式求得点E的坐标，再根据B（-4，0），D（0，4）两点利用待定系数法得到函数关系式．
（2）先通过解方程组求得A点坐标，再求三角形ADE的面积．
（3）下求得BC的长，再根据点P的坐标为（m，n），求得△PBC的面积为S，得出解析式即可．

解答 解：（1）由y=-2x-2，令x=0，得y=-2，
∴E（0，-2），
设直线l₂所对应的函数关系式为y=kx+b，
∵直线l₂经过点B（-4，0），D（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1\\;}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线l₂所对应的函数关系式为y=x+4； 
      
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2\\;}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（-2，2），
∵D（0，4），E（0，-2），
∴DE=6，
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$×6×2=6；

（3）由y=-2x-2，令y=0，得-2x-2=0，
∴x=-1，
∴C（-1，0），
∴BC=-1-（-4）=3，
∵点P的坐标为（m，n），P是线段BD上的一个动点，
∴n=m+4，
∴△PBC的面积S=$\frac{1}{2}$×BC×|n|=$\frac{1}{2}$×3×（m+4）=$\frac{3}{2}$m+6，
∵点P与B、D不重合，
∴自变量m的取值范围为：-4＜m＜0．

点评 本题主要考查了两条直线的交点问题，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．