Question

一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．
(1)若m为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)²－4a．   
∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，
∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)²－2．       
(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝(x－m)²－2顶点在坐标原点．                
(3)由(1)得D(0，m²－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．
∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．                 
∴m²－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．
当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；
当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)
综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．  

(1)先根据两点式设出抛物线的解析式，因为AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，从而得到C点坐标为（m，－2）代入得a＝．即得抛物线解析式．
(2)根据“左加右减，上加下减”的特征即可得到平移的方法．
(3)由(1)得D(0，m²－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．
∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．                 
∴m²－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．
当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；
当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)
综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．