Question

11．如图，在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD，AB于点F和E，AB=4，BC=$\sqrt{3}$，AC=3$\sqrt{3}$，求EF的长．

Answer 1

分析 过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．构建直角△AHC、直角△BCH，相似三角形△ACH∽△AGC，以及平行四边形EFCG．利用勾股定理和相似三角形的对应边成比例可以求得CG的长度，则平行四边形EFCG的对边相等：EF=CG．

解答 解：如图，过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．
由勾股定理得到：CH²=AC²-（AB+BH）²=BC²-BH²，
∵AB=4，BC=$\sqrt{3}$，AC=3 $\sqrt{3}$，
∴（3 $\sqrt{3}$）²-（4+BH）²=（ $\sqrt{3}$）²-BH²，
解得∴BH=1．
∴AH=AB+BH=4+1=5．
∴CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∵CG∥FE、AC⊥FE，
∴CG⊥AC．
∵∠CAH=∠GAC，∠AHC=∠ACG=90°，
∴△ACH∽△AGC，
∴CH：CG=AH：AC，
∴CG=$\frac{CH•AC}{AH}$$\frac{\sqrt{2}×3\sqrt{3}}{5}$=$\frac{3\sqrt{6}}{5}$．
∵四边形ABCD平行四边形，
∴FC∥EG．
又CG∥FE，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴EF=CG=$\frac{3\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质．解题时利用了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，综合性比较强，难度较大．