Question

（2013•厦门）已知点O是平面直角坐标系的原点，直线y=-x+m+n与双曲线y=

1

x

交于两个不同的点A（m，n）（m≥2）和B（p，q）．直线y=-x+m+n与y轴交于点C，求△OBC的面积S的取值范围．

Answer 1

分析：先确定直线y=-x+m+n与坐标轴的交点坐标，即C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，根据反比例函数的对称性得到点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），根据三角形面积公式得到S_△OBC=

1

2

（m+n）•n，然后mn=1，m≥2确定S的范围．

解答：解：如图，C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，
∴点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），
∴S=S_△OBC=

1

2

（m+n）•n=

1

2

mn+

1

2

n²，
∵点A（m，n）在双曲线y=

1

x

上，
∴mn=1，即n=

1

m

∴S=

1

2

+

1

2

（

1

m

）²
∵m≥2，
∴0＜

1

m

≤

1

2

，
∴0＜（

1

m

）²≤

1

4

，
∴

1

2

＜S≤

5

8

．

点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了一次函数的性质．