Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．
（1）若（sinA）²=sin²A，（cosA）²=cos²A，根据三角函数的定义证明：sin²A+cos²A=1；
（2）证明：tanB=

sinB

cosB

；
（3）根据上面的两个结论解答：
①若sinA+cosA=

2

，求sinA-cosA的值；
②若tanB=2，求

4cosB-sinB

2cosB+sinB

的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）由三角函数的定义得出正确等式，进而求出即可；
（2）利用（1）中所求，得出即可；
（3）①利用完全平方公式求出即可；
②利用（2）中所求得出答案即可．

解答：（1）解：由三角函数的定义得：
∵sinA=

a

c

，cosA=

b

c

，sinB=

b

c

，cosB=

a

c

，tanB=

b

a

，
∴sin²A+cos²A=（

a

c

）²+（

b

c

）²=

a2+b2

c2

=1；

（2）证明：

sinB

cosB

=

b c

a c

=

b

a

=tanB，即tanB=

sinB

cosB

；

（3）解：①sinA+cosA=

2

，
两边平方得：sin²A+cos²A+2sinAcosA=2，
则2sinAcosA=1，
故（sinA-cosA）²=sin²A+cos²A-2sinAcosA=1-1=0，
则sinA-cosA=0；

②

4cosB-sinB

2cosB+sinB

=

4cosB-sinB cosB

2cosB+sinB cosB

=

4- sinB cosB

2+ sinB cosB

=

4-tanB

2+tanB

=

4-2

2+2

=

1

2

．

点评：此题主要考查了解直角三角形，熟练应用锐角三角函数关系以及正确应用完全平方公式是解题关键．