Question

如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的角平分线交BC于D．
求证：AB+BD=AC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC
BD=EC，进而可证明：AB+BD=AE+EC=AC．

解答：证明：在AC取一点E使AB=AE，
在△ABD和△AED中，

AB=AD ∠BAD=∠EAD AD=AD

，
∴△ABD≌△AED，
∴∠B=∠AED，BD=DE，
又∵∠B=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
∵∠AED是△EDC的外角，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC，
∴BD=EC，
∴AB+BD=AE+EC=AC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．