【题目】已知AB是⊙O的直径,C是圆上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E,如图①.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=10,AC=6,求BD的长;
(3)如图②,若F是OA中点,FG⊥OA交直线DE于点G,若FG=,tan∠BAD=,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)4.
【解析】试题分析:(1)欲证明DE是⊙O的切线,只要证明OD⊥DE;
(2)首先证明OD⊥BC,在Rt△BDN中,利用勾股定理计算即可;
(3)如图②中,设FG与AD交于点H,根据题意,设AB=5x,AD=4x,则AF=x,想办法用x表示线段FH、GH,根据FH+GH=,列出方程即可解决问题;
试题解析:解:(1)证明:如图①中,连接OD.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAE,∴∠ODA=∠DAE,∴OD∥AE,∴∠ODE+∠AED=180°,∵∠AED=90°,∴∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线.
(2)如图①中,连接BC,交OD于点N,∵AB是直径,∴∠BCA=90°,∵OD∥AE,O是AB的中点,∴ON∥AC,且ON=AC,∴∠ONB=90°,且ON=3,则BN=4,ND=2,∴BD==.
(3)如图②中,设FG与AD交于点H,根据题意,设AB=5x,AD=4x,则AF=x,FH=AFtan∠BAD=x=x,AH== =,HD=AD﹣AH=4x﹣=,由(1)可知,∠HDG+∠ODA=90°,在Rt△HFA中,∠FAH+∠FHA=90°,∵∠OAD=∠ODA,∠FHA=∠DHG,∴∠DHG=∠HDG,∴GH=GD,过点G作GM⊥HD,交HD于点M,∴MH=MD,∴HM=HD=×=,∵∠FAH+∠AHF=90°,∠MHG+∠HGM=90°,∴∠FAH=∠HGM,在Rt△HGM中,HG===,∵FH+GH=,∴+=,解得x=,∴此圆的半径为×=4.
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【题目】如图,已知:AD为△ABC的中线,过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE和CF,E、F为垂足,过点E作EG∥AB交BC于点H,连结HF并延长交AB于点P。
(1)求证:DE=DF
(2)若;①求:的值;②求证:四边形HGAP为平行四边形。
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【题目】已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两点.已知当x>1时,y1>y2;当0<x<1时,y1<y2.
(1)求一次函数的解析式;
(2)已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3,求△ABC的面积.
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【题目】已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.
(1)如图①所示,连接AE,DB,试判断线段AE和DB的数量和位置关系,并说明理由;
(2)如图②所示,连接DB,将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF,连接AF,试判断线段DE和AF的数量和位置关系,并说明理由.
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【题目】(2017山东省莱芜市,第22题,10分)某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩,已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元,小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元.
(1)改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元?
(2)根据消费者需求,网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋,且甲种口罩的数量大于乙种口罩的,已知甲种口罩每袋的进价为22.4元,乙种口罩每袋的进价为18元,请你帮助网店计算有几种进货方案?若使网店获利最大,应该购进甲、乙两种口罩各多少袋,最大获利多少元?
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【题目】如图,已知∠AOC=∠BOD=120°,∠BOC=∠AOD.
(1)求∠AOD的度数;
(2)若射线OB绕点O以每秒旋转20°的速度顺时针旋转,同时射线OC以每秒旋转15°的速度逆时针旋转,设旋转的时间为t秒(0<t<6),试求当∠BOC=20°时t的值;
(3)若∠AOB绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转,同时∠COD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转,设旋转的时间为t秒(0<t<18),OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,在旋转的过程中,∠MON的度数是否发生改变?若不变,求出其值:若改变,说明理由.
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【题目】小明、小英、小丽、小华的家位于同一直线上,已知小明家(A)与小英家(B)的距离为320米,小丽家(C)与小英家(B)的距离为480米,小华家(D)位于小明家(A)与小丽家(C)中间的位置.请你根据条件,画出图形,求出小明家(A)与小华家(D)的距离.
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【题目】在“爱我永州”中学生演讲比赛中,五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下:
甲:8、7、9、8、8
乙:7、9、6、9、9
则下列说法中错误的是( )
A.甲、乙得分的平均数都是8
B.甲得分的众数是8,乙得分的众数是9
C.甲得分的中位数是9,乙得分的中位数是6
D.甲得分的方差比乙得分的方差小
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【题目】阅读理解:若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=﹣,x1x2=,我们把它们称为一元二次方程的根与系数关系定理.
问题解决:请你参考根与系数关系定理,解答下列问题:
(1)若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1,则另一个根为 .
(2)求方程2x2﹣3x=5的两根之和,两根之积.
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