Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC= ．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．

设反比例函数解析式为y= ．

∵AE⊥x轴，

∴∠AEO=90°．

在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC= ，∠AEO=90°，

∴AE=AOsin∠AOC=3，OE= =4，

∴点A的坐标为（﹣4，3）．

∵点A（﹣4，3）在反比例函数y= 的图象上，

∴3= ，解得：k=﹣12．

∴反比例函数解析式为y=﹣ ．

（2）

解：∵点B（m，﹣4）在反比例函数y=﹣ 的图象上，

∴﹣4=﹣ ，解得：m=3，

∴点B的坐标为（3，﹣4）．

设直线AB的解析式为y=ax+b，

将点A（﹣4，3）、点B（3，﹣4）代入y=ax+b中得：

，解得： ，

∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1．

令一次函数y=﹣x﹣1中y=0，则0=﹣x﹣1，

解得：x=﹣1，即点C的坐标为（﹣1，0）．

S△AOB= OC（yA﹣yB）= ×1×[3﹣（﹣4）]=

【解析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y= ．通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=ax+b，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y=0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出直线AB的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．