Question

7．定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=$\frac{1}{4}$CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）连结AO并且延长交圆于C₁，连结BO并且延长交圆于C₂，即可求解；
（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF²、EF²、AE²，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；
（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．

解答 解：（1）如图1所示：
（2）△AEF是否为“智慧三角形”，
理由如下：设正方形的边长为4a，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE=2a，
∵BC：FC=4：1，
∴FC=a，BF=4a-a=3a，
在Rt△ADE中，AE²=（4a）²+（2a）²=20a²，
在Rt△ECF中，EF²=（2a）²+a²=5a²，
在Rt△ABF中，AF²=（4a）²+（3a）²=25a²，
∴AE²+EF²=AF²，
∴△AEF是直角三角形，
∵斜边AF上的中线等于AF的一半，
∴△AEF为“智慧三角形”；
（3）如图3所示：
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，
根据题意可得一条直角边OP=1，
∴PQ最小时，△POQ的面积最小，
即：OQ最小，
由垂线段最短可得斜边最小为3，
由勾股定理可得PQ=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
根据面积得，$\frac{1}{2}$OQ×PM=$\frac{1}{2}$OP×PQ，
∴PM=1×2$\sqrt{2}$÷3=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
由勾股定理可求得OM=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
故点P的坐标（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{1}{3}$），（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查了圆的综合题，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出△AEF的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形”的定义是解题的关键．