Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA＝AD＝DC，点E在CB延长线上，BE＝AD，连接AC、AE．（1）求证：AE＝AC（2）若AB⊥AC， F是BC的中点，试判断四边形AFCD的形状，并说明理由．

Answer 1

本题方法不唯一，以下解法供参考，其他方法参照给分．
（1）证明：连接BD
∵梯形ABCD是等腰梯形      
∴AC＝BD…………………………1分
∵BE＝AD， AD∥BC         
∴四边形AEBD是平行四边形……4分
∴AE＝BD，    ∴AE＝AC ……………5分
（2）四边形AFCD是菱形
证明：∵AB⊥AC， F是BC的中点
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA
∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA ……………6分
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠FCA
∴∠DCA＝∠FAC ……………7分
∴AF∥DC ……………8分
∵AD∥BC，AF∥DC
∴四边形AFCD是平行四边形 ……………9分
又AD＝DC
∴四边形AFCD是菱形 ……………10分

根据平行四边形的性质和菱形的性质求证