如图.已知直线y=2x+4与x轴.y轴分别交于A.B两点.将△AOB绕点O沿顺时针方向旋转后.点B落在x轴上的点D处.点A落在y轴上的点E处.分别以AB.AD为边作平行四边形ABCD．,(2)若F是直线上DE上一点.且△BDF是直角三角形.则点F的坐标是(-$\frac{4}{5}$.$\frac{12}{5}$)或(-$\frac{4}{3}$.$\frac{8}{3}$),(3)设P是DE上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．如图，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△AOB绕点O沿顺时针方向旋转后，点B落在x轴上的点D处，点A落在y轴上的点E处，分别以AB、AD为边作平行四边形ABCD．

（1）点C的坐标是（6，4）；
（2）若F是直线上DE上一点，且△BDF是直角三角形，则点F的坐标是（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）或（-$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）；
（3）设P是DE上的一个动点，求当使△PBC的周长最小时点P的坐标，并求出△PBC周长的最小值．

分析（1）先求得A、B的坐标，然后根据平行四边形的性质即可求得C的坐标．
（2）分两种情况分别讨论求得；
（3）设B′是B关于直线DE的对称点，连接OB′，连接BB′交直线DE与F，求得直线DE的解析式，进而求得直线OB′的解析式，从而设B′（x，-$\frac{1}{2}$x），然后根据△FGE∽△DOE，即可求得B′的坐标，根据待定系数法求得直线B′C解析式，联立方程即可求得P的坐标，然后求得PB、PC的长，根据三角形周长公式即可求得△PBC周长的最小值．

解答解：（1）由直线y=2x+4可知A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
根据旋转的性质则OD=OB=4，
∴AD=6，D（4，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∴C（6，4）．
故答案为：（6，4）．

（2）当∠BFD=90°时，作FG⊥x轴于G，如图1，
∵∠BFE=∠DOE=90°，∠BEF=∠DEO，
∴△BEF∽△DEO，
∴$\frac{EF}{OE}$=$\frac{BE}{DE}$，
∵OE=OA=2，OD=OB=4，OB=4，
∴BE=4-2=2，DE=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{EF}{2}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴EF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DF=DE+EF=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵FG∥OB，
∴△ODE∽△GDF，
∴$\frac{GF}{OE}$=$\frac{GD}{OD}$=$\frac{DF}{DE}$，即$\frac{GF}{2}$=$\frac{GD}{4}$=$\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}$，
∴GF=$\frac{12}{5}$，GD=$\frac{24}{5}$，
∴OG=GD-OD=$\frac{4}{5}$，
∴F（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
当∠FBD=90°时，作FG⊥y轴于G，则∠BFG=∠CBD，如图2，
∵∠FGB=∠EOD=90°，
∴△BFG∽△DBO，
∴$\frac{BG}{GF}$=$\frac{OD}{OB}$=$\frac{4}{4}$=1，
∴BG=GF，
设BG=GF=x，
∴OG=4-x，
∴GE=4-x-2=2-x
∵FG∥AD，
∴△FGE∽△DOE，
∴$\frac{FG}{OD}$=$\frac{EG}{OE}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{2-x}{2}$，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴BG=GF=$\frac{4}{3}$，
∴OG=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴F（-$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
故F点的坐标为（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）或（-$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）．
故答案为（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）或（-$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

（3）设B′是B关于直线DE的对称点，连接OB′，如图3，
连接BB′交直线DE与F，
∴BF=B′F，
∵BE=OE=2，
∴EF∥OB′，
作B′G⊥OA于G，
∴∠OB′B=∠EFB=90°，
∴∠OBB′+∠BOB′=90°，
∵∠BOB′+∠GOB′=90°，
∴∠GOB′=∠OBB′，
∴△GOB′∽△B′BO，
∴$\frac{B′G}{OB′}$=$\frac{OB′}{OB}$，
∵D（4，0）．E（0，2），
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴直线OB′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，
设B′（x，-$\frac{1}{2}$x），
∴OB′=-$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∴$\frac{\frac{1}{2}x}{\frac{\sqrt{5}}{2}x}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}x}{4}$，解得x=-$\frac{8}{5}$，
∴B′（-$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∵C（6，4），
∴直线B′C的解析式为y=$\frac{8}{19}$x+$\frac{28}{19}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{8}{19}x+\frac{28}{19}}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{7}}\\{y=\frac{12}{7}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{4}{7}$，$\frac{12}{7}$），
∵B（0，4），C（6，4），
∴PB=$\frac{4\sqrt{17}}{7}$，PC=$\frac{10\sqrt{17}}{7}$，
∵BC=6，
∴△PBC周长的最小值=PB+PC+BC=2$\sqrt{17}$+6．

点评本题是一次函数的综合题，应用的知识点有：直线与坐标轴的交点坐标，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，待定系数法求解析式，勾股定理的应用等．

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