Question

10．如图，已知等腰△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连接FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，连接GC．
（1）求证：EF∥CG；
（2）若AC=$\sqrt{2}$AB，求证：AC=CG；
（3）如图2，若CG=EG，则$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由点D、E分别是线段AC、BC的中点可得出DE为△ABC的中位线，根据中位线的性质即可得出∠CDE=∠A，进而可得出∠FDG=∠A，由此即可证出△ABF≌△DGF（ASA），根据全等三角形的性质即可得出BF=GF，即点F为线段BG的中点，再根据中位线的性质即可得出EF∥CG；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，根据边与边的关系找出比例关系$\frac{AF}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{AM}{AC}$，由此即可得出△BAF∽△CAM，进而得出CF⊥BG，再由点F为线段BG的中点即可得出BC=CG，通过等量代换即可证出AC=CG；
（3）根据DE∥AB即可得出∠GEC=∠CBA，结合两三角形为等腰三角形即可得出△GEC∽△CBA，再根据相似三角形的性质即可得出$\frac{CE}{AB}=\frac{CG}{AC}=\frac{EG}{AC}$，代入数据即可得出结论．

解答 （1）证明：∵点D、E分别是线段AC、BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠A．
∵∠CDE=FDG，
∴∠FDG=∠A．
∵点F为线段AD的中点，
∴AF=DF．
在△ABF和△DGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FDG}\\{AF=DF}\\{∠AFB=∠DFG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DGF（ASA），
∴BF=GF，
∴点F为线段BG的中点，
∵点E为线段BC的中点，
∴EF为△BCG的中位线，
∴EF∥CG．
（2）证明：在图1中，过点C作CM⊥AB于点M．
∵AC=BC，
∴AM=BM=$\frac{1}{2}$AB．
∵AC=$\sqrt{2}$AB，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}AB}{\sqrt{2}AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∵AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AB，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{AM}{AC}$，
∴△BAF∽△CAM，
∴∠AFB=∠AMC=90°，
∴CF⊥BG．
∵点F为线段BG的中点，
∴BC=CG，
又∵AC=BC，
∴AC=CG．
（3）解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC，
∵DG=AB，EG=DE+DG，
∴EG=$\frac{3}{2}$AB．
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∵AC=BC，CG=EG，
∴△GEC∽△CBA，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{CG}{AC}=\frac{EG}{AC}$，既$\frac{\frac{1}{2}AC}{AB}=\frac{\frac{3}{2}AB}{AC}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形的中位线、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出EF为△BCG的中位线；（2）找出CF⊥BG；（3）根据相似三角形的性质找出$\frac{CE}{AB}=\frac{CG}{AC}=\frac{EG}{AC}$．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出对应边的比是关键．