Question

【题目】如图，已知二次函数的图象经过A（3，0），B（0，1），C（2，2）三点.

（1）求二次函数的解析式；

（2）设点D（，m ）在二次函数的图象上，将∠ACB绕点C按顺时针方向旋转至∠FCE，使得射线CE与轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线CF与线段OA交于点F．求证：BE＝2FO；

（3）是否存在点H（n，2），使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（直接回答，不必说明理由）

Answer 1

【答案】（1）二次函数的解析式为；

（2）证明见解析；

（3）存在4个符合条件的点H，使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形．

【解析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）证明Rt△NBC≌Rt△MAC和△ACF≌△BCE， 得出AF=BE，然后利用一次函数求出BE＝2FO；（3）最后直接求出符合条件△ADH是直角三角形的点H．

（1）解：把A（3，0），B（0，1），C（2，2）代入，

得 ∴

∴二次函数的解析式为．

（2）过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥y轴于点N，

∵A（3，0），B（0，1），C（2，2），

∴CM= CN=2，CA=CB=，

∴Rt△NBC≌Rt△MAC，

∴∠CAF=∠CBE，

∵将∠ACB绕点C按顺时针方向旋转至∠FCE，

∴∠FCE=∠ACB，

∴∠FCE-∠BCF=∠ACB-∠BCF，

即∠ACF=∠BCE，

又∵CB=CA，∴△ACF≌△BCE，

∴AF=BE．

∵二次函数的解析式为，

当时， ，∴

设直线CD： ，把C（2，2）、代入得

， 解得，

∴直线CD： ．

∴E（0，3），BE=2， ∴AF=BE=2 ，

∴FO=OA-AF=1．

∴BE＝2FO．

（3）存在4个符合条件的点H，使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形．

“点睛”本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握运用待定系数法求函数解析式；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，根据题意利用一次函数求出BE＝2FO是解答此题的关键．