Question

设实数a、b、c满足

1 a2 + 1 b2 + 1 c2

=|

1

a

+

1

b

+

1

c

|，求证：二次函数y=ax²+bx+c的图象过一个定点，并求这个定点．

Answer 1

分析：将已知等式两边平方，整理，可得到a+b+c=0，即二次函数解析式的系数和为0，可知定点为（1，0）．

解答：证明：将

1 a2 + 1 b2 + 1 c2

=|

1

a

+

1

b

+

1

c

|两边平方，得

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

+2（

1

ab

+

1

bc

+

1

ac

）
整理，得a+b+c=0，
又当x=1时，y=ax²+bx+c=a+b+c=0，
∴抛物线y=ax²+bx+c通过定点（1，0）．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．抛物线y=ax²+bx+c过点（1，a+b+c），（-1，a-b+c），（0，c）等．关键是将已知等式整理变形．