Question

如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA-1=0，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角，再根据平行线的性质即可证明；
（2）根据垂径定理得到AD=CD，再根据三角形的中位线定理进行求解；
（3）由已知可以求得∠A=30°，在直角三角形ABC中，根据30度所对的直角边是斜边的一半进行求解．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°．（2分）
∵OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°．（3分）
∴AC⊥OD．（4分）

（2）解：∵OD∥BC，O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴点D是AC的中点，（1分）
∴OD=

1

2

BC=

1

2

×4=2cm；（4分）

（3）解：∵2sinA-1=0，
∴sinA=

1

2

．（1分）
∴∠A=30°．（2分）
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB．（3分）
∴AB=2BC=8（cm）．
即⊙O的直径是8cm．（4分）

点评：此题综合考查了圆周角定理的推论、平行线等分线段定理、三角形的中位线定理、特殊角的锐角三角函数值．