Question

已知二次函数y=x²+ax+a-2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）当两个交点间的距离为时，求a的值；
（3）在（2）的条件下求出函数的最大值或最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令函数值y=0，可得出一个关于x的一元二次方程，证△＞0即可．
（2）可设出两个交点的横坐标，然后根据韦达定理表示出两交点的距离，即可求出a的值．
（3）可根据（2）得出的a的值，求出抛物线的解析式，用配方法或公式法即可求出函数的最大或最小值（本题抛物线开口向上，因此只有最小值）．
解答：解：（1）令y=0，
则有x²+ax+a-2=0①，
△=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，
因此不论a的值为多少，抛物线总与x轴有两个不同的交点．

（2）设两交点的坐标为（x₁，0）（x₂，0）（x₁＜x₂）；
根据方程①可得
x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2
x₂-x₁===
∴a²-4a+8=29，即a²-4a-21=0
∴a=-3或a=7．

（3）当a=-3时，y=x²-3x-5=（x-）²-
∴函数的最小值为-
当a=7时，y=x²+7x+5=（x+）²-
∴函数的最小值为-
∴函数的最小值为-．
点评：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系等知识．