Question

8．如图，抛物线y=x²+bx+c过点A（2，0），点B（-1，0），C是抛物线在第一象限内的一点，且tan$∠AOC=\frac{1}{2}$，M是x轴上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M的横坐标为m，若直线OC上存在点D，使∠ADM=90°，求m的取值范围；
（3）当点M关于直线OC的对称点N落在抛物线上时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=x²+bx+c过点A（2，0），点B（-1，0），根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）分三种情况：当以AM为直径的⊙P与直线OC相切时，直线OC上存在点D（即切点），使∠ADM=90°；当⊙P与OC相交时，存在点D（即交点）；当⊙P与OC相离时，不存在．如图，设⊙P与OC相切于点Q，连结PQ．根据勾股定理得到关于m的方程，解方程即可得到m的取值范围；
（3）如图，连结MN交直线OC于点E，过点N作NF⊥OM于点F．根据三角函数和三角形面积公式，由对称性可知，当m＞0时，点N在第一象限；当m＜0时，点N在第三象限；得到点N的坐标为（$\frac{3}{5}$m，$\frac{4}{5}$m），把N（$\frac{3}{5}$m，$\frac{4}{5}$m）代入y=x²-x-2中，得到关于m的方程，解方程即可求解．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点A（2，0），点B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=0}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=x²-x-2；

（2）当以AM为直径的⊙P与直线OC相切时，直线OC上存在点D（即切点），使∠ADM=90°，
当⊙P与OC相交时，存在点D（即交点）；当⊙P与OC相离时，不存在．
如图，设⊙P与OC相切于点Q，连结PQ．
则PQ=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$|2-m|，
∴OQ=$\frac{PQ}{tan∠AOC}$=|2-m|，OP=|2-$\frac{2-m}{2}$|=$\frac{1}{2}$|2+m|．
∵OQ²+PQ²=OP²，
∴（2-m）²+[$\frac{1}{2}$（2-m）]²=[$\frac{1}{2}$（2+m）]²，
化简得m²-6m+4=0，
解得m₁=3-$\sqrt{5}$，m₂=3+$\sqrt{5}$．
∴当m≤3-$\sqrt{5}$或m≥3+$\sqrt{5}$时，直线OC上存在点D，使∠ADM=90°．

（3）如图，连结MN交直线OC于点E，过点N作NF⊥OM于点F．
∵tan$∠AOC=\frac{1}{2}$=$\frac{EM}{OE}$，
∴OE=2EM．
∵OE²+EM²=OM²，
∴4EM²+EM²=m²，
∴EM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|m|．
∴OE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|m|，MN=2EM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|m|，
∵OM•NF=MN•OE，
∴NF=$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}|m|•\frac{2\sqrt{5}}{5}|m|}{|m|}$=$\frac{4}{5}$|m|．
由对称性可知，当m＞0时，点N在第一象限；当m＜0时，点N在第三象限；
∴点N的坐标为（$\frac{3}{5}$m，$\frac{4}{5}$m），
把N（$\frac{3}{5}$m，$\frac{4}{5}$m）代入y=x²-x-2中，得$\frac{9}{25}$m²-$\frac{3}{5}$m-2=$\frac{4}{5}$m，
化简得9m²-35m-50=0，
解得m₁=-$\frac{10}{9}$，m₂=5．
综上所述，M的坐标为（-$\frac{10}{9}$，0）或（5，0）．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，直线与圆的位置关系，勾股定理，三角函数和三角形面积公式，对称性，分类思想和方程思想的应用，综合性较强，难度较大．