Question

（2013•昭通）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

Answer 1

分析：（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；
（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；
（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

解答：（1）证明：∵菱形AFED，
∴AF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，
即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF-CD，
理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中

AC=AB ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF-CD=BD-CD=BC=AC，
即AC=CF-CD．

（3）AC=CD-CF．理由是：
∵∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠DAB=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中

AB=AC ∠DAB=∠FAC AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴CD-CF=CD-BD=BC=AC，
即AC=CD-CF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．