Question

如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．

（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，），将直线OC沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．

Answer 1

解：（1）如图1，

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴BC=OA，BC∥OA．

∵A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），

∴点C的坐标为（2，4）．

∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．

∴．

解得：．

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6．

（2）如图1，

∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6．

∴对称轴x=﹣=，

设OC所在直线的解析式为y=ax，

∵点C的坐标为（2，4），

∴2a=4，即a=2．

∴OC所在直线的解析式为y=2x．

当x=时，y=1，则点F为（，1）．

∴S2=EC•EF

=×（2﹣）×（4﹣1）=．

∴S1=S四边形ABCO﹣S2=2×4﹣=．

∴S1：S2=： =23：9．

∴S1与S2的比为23：9．

（3）过点D作DM⊥CO，交x轴于点M，如图2，

∵点C的坐标为（2，4），

∴tan∠BOC=．

∵∠OMD=90°﹣∠MOC=∠BOC，

∴tan∠OMD==．

∵点D的坐标是（0，），

∴=，即OM=7．

∴点M的坐标为（7，0）．

设直线DM的解析式为y=kx+b，

则有，

解得：

∴直线DM的解析式为y=﹣x+．

∵点D与点D′关于直线O′C′对称，

∴DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上．

∵OC∥O′C′，∴DD′⊥OC．

∴点D′是直线DM与抛物线的交点．

联立

解得：，，

∴点D′的坐标为（﹣1，4）或（，）．

设直线O′C′的解析式为y=2x+c，

①当点D′的坐标为（﹣1，4）时，如图3，

线段DD′的中点为（，）即（﹣，），

则有2×（﹣）+c=，

解得：c=．

此时直线O′C′的解析式为y=2x+．

②当点D′的坐标为（，）时，如图4，

同理可得：此时直线O′C′的解析式为y=2x+．

综上所述：当点D′的坐标为（﹣1，4）时，直线O′C′的解析式为y=2x+；当点D′的坐标为（，）时，直线O′C′的解析式为y=2x+．