Question

如图，直线AC切⊙O于点A，点B在⊙O上，且AB=AC=AO，OC、BC分别交⊙O于点E、F．求证：EF是圆内接正二十四边形的一边．

Answer 1

证明：∵AC切⊙O于点A，
∴∠CAO=90°，
∵AC=OA，
∴∠AOC=45°，
∵AB=OA，OB=OA，
∴∠BAO=60°，
∠BAC=60°+90°=150°，
∵AC=AB，
∴∠ABC=（180°-150°）=15°，
∵∠AOF是所对圆心角，∠ABF是所对圆周角，
∴∠AOF=30°，
∴∠EOF=15°，
∵=24，
∴EF是圆内接正二十四边形的一边．
分析：首先利用切线的性质求出∠AOC=45°，进而得出∠ABC=（180°-150°）=15°，以及∠EOF=15°，即可得出EF是圆内接正二十四边形的一边．
点评：此题主要考查了正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出∠EOF的度数是解题关键．