Question

已知：如图，∠C=2∠B，AC=

1

2

BC，AD为△ABC中BC边上的中线．
（1）若AE⊥BC于E，请你判断线段DE与BC之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（2）当AD•AE=20时，求△ABD的面积．

Answer 1

分析：（1）作∠ACB的平分线CF交AB于F，连接FD，根据角平分线的定义以及等角对等边的性质可以证明BF=CF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CDF=90°，然后利用“边角边”证明△ACF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CAF=∠CDF=90°，从而∠ACB=60°，得到△ACD是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得证；
（2）根据（1）的结论，AD=CD=BD，然后根据三角形的面积公式可得S_△ABD=

1

2

BD•AE=

1

2

AD•AE，代入数据进行计算即可得解．

解答：解：（1）线段DE与BC之间的数量关系是DE=

1

4

BC．
理由如下：如图，作∠ACB的平分线CF，交AB于F，连接FD，
则∠1=∠2=

1

2

∠ACB，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠2=∠B，
∴FB=FC（在一个三角形中，等角对等边），
∴△BFC为等腰三角形（等腰三角形的定义），
∵D为BC边上的中点，
∴∠CDF=90°（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线互相重合），
∵AC=

1

2

BC，
∴BD=DC=AC，
在△ACF和△DCF中，

AC=DC ∠1=∠2 CF=CF

，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠CAF=∠CDF=90°（全等三角形对应角相等），
∴∠1+∠2+∠B=90°，
即3∠1=90°，
解得∠1=30°，
∴∠ACB=60°，
又∵AC=CD，
∴△ADC为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∵AE⊥BC于E，
∴DE=

1

2

DC（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线互相重合）．
∴DE=

1

2

DC=

1

2

×

1

2

BC=

1

4

BC；

（2）由（1）可得AD=CD=BD，
∵AD•AE=20，
∴S_△ABD=

1

2

BD•AE=

1

2

AD•AE=

1

2

×20=10．
答：△ABD的面积为10．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等边三角形的判定与性质，证明得到∠CAF=90°，从而求出∠ACB的度数是解题的关键．