Question

8．如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．
（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA=45°．
（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，设∠BAD=α．
①试求∠EBC和∠PBC的大小（用α表示）．
②问∠DBA的大小是否发生改变？若不变，求∠DBA的值；若变化，说明理由．
（3）若将题目条件“∠ACB=90°”，改为：“∠ACB=β”，其它条件不变，那么∠DBA=$\frac{1}{2}$β．（直接写出结果，不必证明）

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAD=90°，然后求出∠BAC=45°，从而得到∠ABC=45°，再根据BD平分∠FBC求出∠DBC=90°，然后求解即可；
（2）①EF∥GH，得出∠2=∠3，进一步得出∠1=∠3，利用三角形的内角和得出∠EBC，利用平角的意义得出∠PBC；
②根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，再根据三角形的内角和定理表示出∠4，然后表示∠5，再利用平角等于180°列式表示出∠DBA整理即可得解．
（3）根据（2）的结论计算即可得解．

解答 解：（1）∵EF∥GH，
∴∠CAD=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∵∠DAB=∠BAC，
∴∠BAC=45°，
∴∠ABC=45°，
∵BD平分∠FBC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠DBA=90°-45°=45°；
（2）如图，

①∵EF∥GH，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2=α，
∴∠1=∠3=α，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBC=90°-∠1-∠3=90°-2α，
∠PBC=$\frac{1}{2}$（180°-∠EBC）=45°+α；
②设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，
∵EF∥GH，
∴∠2=∠3，
在△ABC内，∠4=180°-∠ACB-∠1-∠3=180°-∠ACB-2x，
∵直线BD平分∠FBC，
∴∠5=$\frac{1}{2}$（180°-∠4）=$\frac{1}{2}$（180°-180°+∠ACB+2x）=$\frac{1}{2}$∠ACB+x，
∴∠DBA=180°-∠3-∠4-∠5，
=180°-x-（180°-∠ACB-2x）-（$\frac{1}{2}$∠ACB+x），
=180°-x-180°+∠ACB+2x-$\frac{1}{2}$∠ACB-x，
=$\frac{1}{2}$∠ACB，
=$\frac{1}{2}$×90°，
=45°；
（3）由（2）可知，
设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，
∵EF∥GH，
∴∠2=∠3，
在△ABC内，∠4=180°-∠ACB-∠1-∠3=180°-∠ACB-2x，
∵直线BD平分∠FBC，
∴∠5=$\frac{1}{2}$（180°-∠4）=$\frac{1}{2}$（180°-180°+∠ACB+2x）=$\frac{1}{2}$∠ACB+x，
∴∠DBA=180°-∠3-∠4-∠5，
=180°-x-（180°-∠ACB-2x）-（$\frac{1}{2}$∠ACB+x），
=180°-x-180°+∠ACB+2x-$\frac{1}{2}$∠ACB-x，
=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∠ACB=β时，
∠DBA=$\frac{1}{2}$β．

点评 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．