Question

（2013•江宁区二模）根据三角形外心的概念，我们可引入如下概念：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
（1）应用：如图1，PA=PB，过准外心P作PD⊥AB，垂足为D，PD=

3

6

AB，求∠PAD；
（2）探究：如图2，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10，AB=6，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

Answer 1

分析：（1）根据PA=PB，PD⊥AB，得出AD=BD，求出PD=

3

6

AB，PD=

3

3

AD，再根据tan∠PAE=

PD

AD

=

3

3

，即可得出答案．
（2根据勾股定理求出AC的值，分三种情况进行讨论，若PB=PC，连结PB，设PA=x，得出PB=PC=8-x，再根据勾股定理求出PA的值；若PA=PC，得出PA=4；若PA=PB，由图知，不存在；从而得出PA的长．

解答：解：（1）∵PA=PB，PD⊥AB，
∴AD=BD，
∵PD=

3

6

AB，
∴PD=

3

3

AD，
在Rt△PAD中，tan∠PAE=

PD

AD

=

3

3

，
∴∠PAD=30°．

（2）在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，BC=10，AB=6，
∴AC=

BC2-AB2

=

102-62

=8，
若PB=PC，连结PB，
设PA=x，则PB=PC=8-x，
在Rt△PAB中，
∵PB²=AP²+AB²，
∴（8-x）²=x²+6²，
∴x=

7

4

，即PA=

7

4

，
若PA=PC，则PA=4，
若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能，
故PA=4或

7

4

．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是勾股定理、特殊角的三角函数，等腰三角形的性质，注意解（2）时，要分三种情况讨论，不要漏项．