Question

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x正半轴，以点A为圆心作⊙A，点M（4，4）在⊙A上，直线y=-$\frac{3}{4}$x+b与圆相切于点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
（1）直接写出b的值和点B的坐标；
（2）求点A的坐标和圆的半径；
（3）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求$\frac{GF}{EG}$的值．

Answer 1

分析 （1）将点M的坐标代入直线y=-$\frac{3}{4}$x+b的解析式可求得b的值，由b的值可得到直线的解析式，然后令y=0可求得点B的横坐标，于是得到点B的坐标；
（2）由相互垂直的两条直线的一次项系数为-1，可设直线AM的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+c，然后将点M的坐标代入可求得c的值，然后令y=0可求得点A的横坐标，最后依据两点间的距离公式可求得圆A的半径．
（3）如图1所示：连接AF、AM．先证明四边形AFEM为正方形，于是可求得ME=5，然后在△ABM中依据勾股定理可求得MB的长，从而可求得BE的长，接下来，证明△AGF∽△BGE，由相似三角形的性质可求得答案．

解答 解：（1）∵点M在直线y=-$\frac{3}{4}$x+b上，
∴-$\frac{3}{4}$×4+b=4，解得：b=7．
∴直线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+7．
∵当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+7=0，解得：x=$\frac{28}{3}$，
∴B（$\frac{28}{3}$，0）．
（2）∵BC是圆A的切线，
∴AM⊥BC．
设直线AM的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+c．
∵将M（4，4）代入y=$\frac{4}{3}$x+c得$\frac{16}{3}$+c=4，解得：c=$-\frac{4}{3}$，
∴直线AM的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
∵当y=0时，$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$=0，解得x=1，
∴A（1，0）．
∵由两点间的距离公式可知AM=$\sqrt{（4-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=5，
∴圆A的半径为5．
（3）如图1所示：连接AF、AM．

∵BC、EF是圆A的切线，
∴AM⊥BC，AF⊥EF．
又∵BC⊥EF，
∴∠AME=∠MEF=∠EFA=90°．
∴四边形AFEM为矩形．
又∵AM=AF，
∴四边形AFEM为正方形．
∴ME=AF=5．
∵在Rt△AMB中，MB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∴BE=BM-ME=$\frac{5}{3}$．
∵∠AFG=∠BEG=90°，∠AGF=∠BGE，
∴△AGF∽△BGE．
∴$\frac{FG}{EG}=\frac{AF}{BE}$即$\frac{GF}{EG}=\frac{5}{\frac{5}{3}}$．
∴$\frac{GF}{EG}$=3．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、正方形的性质和判定、勾股定理、相似三角形的性质和判定、待定系数法求一次函数的解析式，明确相互垂直的两条直线的一次项系数乘积为-1是解题的关键．