已知：二次函数y=x2-4x+m的图象与x轴交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果（x1+1）（x2+1）=8，求二次函数的解析式；
（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A1、B1，顶点为点C1，且△A1B1C1是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．
【答案】
分析：（1）由二次函数y=x
2-4x+m的图象与x轴交于不同的两点，可得判别式△＞0，然后由△=16-4m，即可求得实数m的取值范围；
（2）由根与系数的关系即可得x
1•x
2=m，x
1+x
2=4，又由（x
1+1）（x
2+1）=8，即可求得m的值，继而求得此二次函数的解析式；
（3）设平移b个单位，由对称轴为x=2，C（2，-1），即可得C
1（2，-1+b），又由△A
1B
1C
1是等边三角形，根据三角函数的性质，即可求得b的值，继而求得平移后所得图象的函数解析式．
解答：解：（1）∵二次函数y=x
2-4x+m的图象与x轴交于不同的两点，
∴△=16-4m＞0，
∴m＜4，
∴实数m的取值范围为：m＜4；
（2）∵y=x
2-4x+m，
∴x
1•x
2=m，x
1+x
2=4，
由（x
1+1）（x
2+1）=x
1x
2+（x
1+x
2）+1=8，
即m+4+1=8，
∴m=3，
∴二次函数的解析式为：y=x
2-4x+3；
（3）∵对称轴为x=2，C（2，-1），
设平移b个单位，
则y=x
2-4x+3+b=（x-2）
2-1+b，
∴C
1（2，-1+b），
根据勾股关系得出：|
|=
，
又∵x
1•x
2=3+b，x
1+x
2=4，
∴（x
1-x
2）
2=4-4b，
解得：b=-2或1，
代入函数，b=1时，与x轴只有一个交点，不适合，
当b=-2时，y=x
2-4x+1，原函数图象向下平移2个单位可得．
∴平移后所得图象的函数解析式为：y=x
2-4x+1．
点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，判别式与根与系数的关系，平移的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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已知：二次函数的表达式为y=2x2+4x-1．
交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上．