Question

3．如图，AB是⊙O的直径，C是弦BD的延长线上一点，且BD=CD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）DE是⊙O的切线吗？为什么？
（2）如果AB=10，BD=8，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明OD⊥ED即可．根据三角形中位线定理和平行线的性质可以证明．
（2）连接AD，则AD⊥BC，于BD=CD，证得AC=AB=10，根据勾股定理求得AD，然后在Rt△ACD中根据S_△ADC=$\frac{1}{2}$DC•AD=$\frac{1}{2}$AC•DE计算求解．

解答 （1）证明：连接OD．
∵CD=DB，AO=OB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°．
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵AD⊥BC，DC=BD=8，
∴AC=AB=10，
在Rt△ACD中，
S_△ADC=$\frac{1}{2}$DC•AD=$\frac{1}{2}$AC•DE，
∴DE=$\frac{DC•AD}{AC}$=$\frac{8×6}{10}$=4.8．

点评 此题考查切线的判定、三角形中位线定理、三角形面积等知识点，综合性强，难度较大．