Question

如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点P从B出发向点C运动，速度为1cm/s，点Q从C出发，沿C-D-A方向运动，速度为2cm/s，P、Q两点同时出发，当点Q到达终点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动的时间为t（s）．

（1）当点P是线段BC的中点时，求AP的长；
（2）t为何值时，四边形AQCP是平行四边形；
（3）t为何值时，△PCQ是等腰三角形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,等腰三角形的判定,矩形的性质

专题：动点型

分析：（1）求得BP的长后利用勾股定理求得线段AP的长即可；
（2）利用平行四边形的性质得到AQ=CP，从而列出有关t的方程，从而求得t值；
（3）分Q在CD边上时和Q在AD边上时两种情况利用等腰三角形的性质列出有关t的方程，从而求得t值．

解答：解：（1）∵P是BC的中点，
∴BP=3cm，
∵AB=4cm，∠B=90°，
∴AP=5cm；

（2）∵四边形AQCP是平行四边形，
∴AQ=CP，
∴10-2t=6-t，
解得：t=4；

（3）（Ⅰ）若Q在CD边上时，只有PC=CQ，
即：6-t=2t，
解得：t=2；
（Ⅱ）若Q在AD边上时，
①当PQ=CQ时，

1

2

（6-t）=2t-4，
解得：t=

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，；
②PC=CQ时，（6-t）²=4²+（2t-4）²，
解得：t=2或t=

2

3

（舍去）；
PQ=PC时，（6-t）²=4²+（10-3t）²，
整理得：t²-6t+10=0，
△=36-40=-4＜0，无解，
所以当t=2、

14

5

时，△PCQ是等腰三角形．

点评：本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定及矩形的性质，牢固掌握有关的判定定理是解答本题的关键．