Question

1．如图，在正方形ABCD中，点E是AB上一动点（不与点A，B重合），点F在AD上，过点E作EG⊥EF交BC于点G，连接FG．
（1）当BE=AF时，求证：EF=EG．
（2）若AB=4，AF=1，且设AE=n，
①当FG∥AB时，求n的值；
②当BG取最大值时，求△EFG的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，判定△AEF≌△BGE，即可得出EF=EG；
（2）①根据∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEG，即可判定△AEF∽△BGE，进而得到$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AE}{BG}$，即$\frac{1}{4-n}$=$\frac{n}{1}$，据此可得n的值；
②根据△AEF∽△BGE，得出$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AE}{BG}$，即BG=$\frac{AE×BE}{AF}$=n（4-n）=-n²+4n=-（n-2）²+4，进而得到当n=2时，BG有最大值4，据此可得点G与点C重合，再根据勾股定理求得EF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，EG=$\sqrt{E{B}^{2}+B{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，最后根据△EFG的面积=$\frac{1}{2}$EG×EF进行计算即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∵EG⊥EF，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠AFE=∠BEG，
在△AEF和△BGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠BEG}\\{AF=BE}\\{∠A=∠B}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BGE（ASA），
∴EF=EG；

（2）①∵FG∥AB，
∴BG=AF=1，
∵AB=4，AE=n，
∴BE=4-n，
由（1）可得∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEG，
∴△AEF∽△BGE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AE}{BG}$，即$\frac{1}{4-n}$=$\frac{n}{1}$，
∴解得n₁=2-$\sqrt{3}$，n₂=2+$\sqrt{3}$；

②∵△AEF∽△BGE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AE}{BG}$，
∴BG=$\frac{AE×BE}{AF}$=n（4-n）=-n²+4n=-（n-2）²+4，
∴当n=2时，BG有最大值4，
此时点G与点C重合，
∴EF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
EG=$\sqrt{E{B}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴△EFG的面积=$\frac{1}{2}$EG×EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=5．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数最值问题，解决问题的关键是画出图形，依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算．