Question

17．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是直线y=$\frac{1}{2}$x+3上的一个动点（点P在第一象限），过P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
（1）若PE=5EF，求m的值；
（2）过点P作PG∥CD交y轴于点G，判断四边形PECG的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可用m表示P、E的坐标，然后根据PE=5EF即可求出m的值．
（2）由于PG∥CD，PE∥y轴，四边形PECG是平行四边形，然后再证明PE=CE，即可得出四边形PECG是菱形．

解答 解：（1）由于P的横坐标为m，PF⊥x轴，
∴P（m，$\frac{1}{2}$m+3），E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），
∴PE=$\frac{1}{2}$m+3-（-$\frac{3}{4}$m+3）
=$\frac{5m}{4}$
EF=3-$\frac{3}{4}$m
∴PE=5EF，
∴$\frac{5m}{4}$=5（3-$\frac{3}{4}$m），
∴m=3，

（2）由于PG∥CD，PE∥y轴，
∴四边形PECG是平行四边形，
∵EF∥y轴，
∴△EFD∽△COD，
∴$\frac{ED}{CD}=\frac{DF}{OD}$，
∵令x=0和y=0代入y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴C（0，3），D（4，0），
∴OD=4，OC=3，DF=4-m
∴由勾股定理可知：CD=5，
∴$\frac{ED}{5}=\frac{4-m}{4}$，
∴ED=$\frac{5（4-m）}{4}$，
∴CE=CD-ED=$\frac{5m}{4}$，
∴CE=PE，
∴四边形PECG是菱形，

点评 本题考查一次函数的综合问题，涉及解方程，勾股定理，菱形的判定，相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．