Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE∥y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）d=﹣t2+4t﹣3；（3）P（，）．

【解析】

（1）由抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A，可求得点A的坐标，又OA=OC，可求得点C的坐标，然后分别代入B,C的坐标求出a，b，即可求得二次函数的解析式；
（2）首先延长PE交x轴于点H，现将解析式换为顶点解析式求得D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，再将点C（3，0）、D（1，4）代入，得y=﹣2x+6，则E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，再根据d=PH﹣EH即可得答案；
（3）首先，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK于点R，记QE与DK的交点为N，根据题意在（2）的条件下先证明△DQT≌△ECH，再根据全等三角形的性质即可得ME=4﹣2（﹣2t+6），QM= t﹣1+（3﹣t），即可求得答案．

（1）当x=0时，y=3，

∴A（0，3）即OA=3，

∵OA=OC，

∴OC=3，

∴C（3，0），

∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（3，0）

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）如图1，延长PE交x轴于点H，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4），

设直线CD的解析式为y=kx+b，

将点C（3，0）、D（1，4）代入，得：

，

解得：，

∴y=﹣2x+6，

∴E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），

∴PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，

∴d=PH﹣EH=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+6）=﹣t2+4t﹣3；

（3）如图2，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK于点R，记QE与DK的交点为N，

∵D（1，4），B（﹣1，0），C（3，0），

∴BK=2，KC=2，

∴DK垂直平分BC，

∴BD=CD，

∴∠BDK=∠CDK，

∵∠BQE=∠QDE+∠DEQ，∠BQE+∠DEQ=90°，

∴∠QDE+∠DEQ+∠DEQ=90°，即2∠CDK+2∠DEQ=90°，

∴∠CDK+∠DEQ=45°，即∠RNE=45°，

∵ER⊥DK，

∴∠NER=45°，

∴∠MEQ=∠MQE=45°，

∴QM=ME，

∵DQ=CE，∠DTQ=∠EHC、∠QDT=∠CEH，

∴△DQT≌△ECH，

∴DT=EH，QT=CH，

∴ME=4﹣2（﹣2t+6），

QM=MT+QT=MT+CH=t﹣1+（3﹣t），

4﹣2（﹣2t+6）=t﹣1+（3﹣t），

解得：t=，

∴P（，）．