Question

已知抛物线y=x²-（m²+5）x+2m²+6．
（1）求证：无论m为何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点必为A（2，0）；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，记AB的长为d，求d与m之间的函数关系式；
（3）令d=10，问抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令抛物线中y=0，即可用十字相乘法求得两根的值，由此可得证．
（2）在（1）中已经求得了两点的坐标，即可表示出AB的距离．
（3）根据d的长以及（2）中得出的d的表达式可确定出抛物线的解析式，也就能得出A、B的坐标．可以AB为直径作圆，圆与抛物线有交点，说明抛物线上存在符合条件的P点，可根据抛物线的解析式设出P点坐标（设横坐标，根据抛物线的解析式表示出纵坐标），在直角三角形ABP中，∠APB=90°，如果过P作PQ⊥x轴于Q，那么根据射影定理可得出PQ²=AQ•QB，由此可求出P点坐标．

解答：解：（1）令y=0，得x²-（m²+5）x+2m²+6=0，
即（x-2）（x-m²-3）=0
解得x₁=2，x₂=m²+3
∴一定有交点A（2，0），B（m²+3，0）
∴结论得证

（2）∵A（2，0），B（m²+3，0）
∴d=AB=m²+1

（3）d=AB=m²+1=10，
∴y=x²-14x+24
∴A（2，0），B（12，0）
以AB为直径画圆，由图可知与抛物线有两个交点
∴存在这样的点P
设点P坐标为（x，x²-14x+24），作P₁Q⊥横轴于Q，则点Q（x，0）
易得△AQP∽△PQB
∴

AQ

QP

=

PQ

QB

，
∴PQ²=AQ•BQ=（x-2）（12-x）=（x²-14x+24）²
即（x-2）（12-x）=（x-2）²（x-12）²，（x-2）（x-12）≠0，
∴解得x=7±2

6

∴点P为（7+2

6

，-1），或（7-2

6

，-1）．

点评：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、直角三角形的判定等知识．综合性较强，难度适中．