Question

在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，4），B的坐标为（3，0），C（a，b）为平面直角坐标系内一点，若∠ABC=90°，且BA=BC，则ab的值为

21或-3

．

Answer 1

分析：讨论：当点C在x轴上方．作CD⊥x轴，OA=4，OB=3，由于∠ABC=90°，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBD，然后根据“AAS”可判断△ABO≌△BCD，则BD=OA=4，CD=OB=3，于是C点坐标为（7，3），得到ab=21；当点C在x轴下方．如，作CE⊥x轴，与（1）证明方法一样可证得△ABO≌△BCE，得到BE=OA=4，CE=OB=3，则OE=4-3=1，所以C点坐标为（-1，3），得到ab=-3．

解答：解：当点C在x轴上方．如图，作CD⊥x轴，
∵A点的坐标为（0，4），B的坐标为（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BCD中

∠BAO=∠CBD ∠AOB=∠BDC AB=BC

，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=OA=4，CD=OB=3，
∴C点坐标为（7，3），
∴ab=7×3=21；
当点C在x轴下方．如，作CE⊥x轴，
与（1）证明方法一样可证得△ABO≌△BCE（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=3，
∴OE=4-3=1，
∴C点坐标为（-1，3），
∴ab=-1×3=-3．
故答案为21或-3．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了分类讨论的思想、坐标与图形性质．