Question

已知：如图，在△ABC中，∠B=90度．O是BA上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1．设P是线段BA上的动点（P与A、B不重合），BP=x．
（1）求BE的长；
（2）求x为何值时，以P、A、D为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）在点P的运动过程中，PD与△PBC的外接圆能否相切？若能，请证明；若不能，请说明理由；
（4）请再提出一个与动点P有关的数学问题，并直接写出答案．

Answer 1

分析：（1）由于AC切⊙O于点D，可根据切割线定理求得AB的长，即可得到BE的长；
（2）此题要分三种情况讨论：
①以A为顶角顶点，那么AP₁=AD=2，根据AB的长即可求得此时BP₁的长，即x的值；
②以P为顶角顶点，可作线段AD的中垂线，交AD于F、交AB于P₂，则AF=FD、AP₂=DP₂；连接OD，易证得OD∥P₂F，则P₂F是△AOD的中位线，由此可得AP₂=

1

2

OA，即可得到BP即x的值；
③以D为顶角顶点，此时AD=DP₃，可过D作AB的垂线，设垂足为M，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AM=MP₃=

1

2

AP₃，在Rt△ABC中，由切线长定理知BC=CD，已知AD、AB的长，即可由勾股定理求得BC、CD的长，易证得DM∥BC，根据平行线分线段成比例定理即可求得AM的长，由此可得到AP₃的长，即可求得BP₃即x的值．
（3）由于△PBC是直角三角形，则PC是△PBC外接圆的直径，若PD能与△PBC的外接圆相切，则PD⊥PC，在Rt△PBC和Rt△PCD中，分别用勾股定理表示出PC的平方：
BC²+BP²=CD²-PD²，在（2）题已证得BC=CD，则BP²=-PD²，即B、P、D三点重合，显然这种情况是不成立的，故PD不能与△PBC的外接圆相切．
（4）此题是开放性试题，可根据日常学习过程中的积累，来提出符合题意的问题．

解答：解：（1）∵AD与⊙O相切于点D，
∴AD²=AE•AB；
由AD=2，AE=1，得AB=4；
∴BE=AB-AE=3；

（2）①以A为顶角顶点时，AP₁=AD=2，x=BP₁=BA-P₁A=2；
②以P为顶角顶点时，作AD的垂直平分线P₂F交AB于P₂；
连接OD，则OD⊥AD，且OD∥P₂F；
∴P₂A=

1

2

OA=

5

4

x=BA-P₂A=

11

4

；
③以D为顶角顶点时，DP₃=DA=2，过D作DM⊥AB于M，则DM∥BC；
由BC²+AB²=（AD+DC）²，得BC=DC=3，AM=

8

5

，AP₃=2AM=

16

5

，
∴x=BA-P₃A=2AM=

4

5

，
综上所述，当x等于2、

11

4

、

4

5

时，△APD是等腰三角形；

（3）PD与△PBC的外接圆不能相切；
理由：假设PD与△PBC的外接圆相切，
则PD⊥PC，
在Rt△PBC中，PC＞BC（直角三角形中，斜边大于直角边）
在Rt△PCD中，CD＞PC（直角三角形中，斜边大于直角边）
而BC=CD，与上面的矛盾，所以，不存在．
（4）答案不唯一，如：
①x为何值时，以P、D、A为顶点的三角形与△ABC相似；
答：当x=

3

2

或

12

5

时，以P、D、A为顶点的三角形与△ABC相似．
②当x为何值时，PD+PC的和最小；
答：当x=

12

7

时，PD+PC的和最小．

点评：此题涉及的知识点较多，有：切线的判定和性质、切线长定理、勾股定理、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定和性质等重要知识点；需注意的是（2）题中，等腰三角形的腰和底不确定，要分类讨论，以免漏解．