[题目](1)连接三角形任意两边中点的线段叫三角形的中位线.探索三角形中位线的性质.方法如下:①如图1.D.E分别是AB.AC中点.延长DE到F.使EF=DE.连接CF,②证明△ADE≌△CFE.再证四边形DBCF是平行四边形.从而得到线段DE与BC的位置关系和数量关系分别为 . ,(2)如图2.正方形ABCD中.E为边AD中点.G.F分别在边AB.CD上.且AG� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】（1）（方法回顾）连接三角形任意两边中点的线段叫三角形的中位线，探索三角形中位线的性质，方法如下：

①如图1，D、E分别是AB、AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连接CF；

②证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到线段DE与BC的位置关系和数量关系分别为_______、________；

（2）（初步运用）如图2，正方形ABCD中，E为边AD中点，G、F分别在边AB、CD上，且AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF长．

（3）（拓展延伸）如图3，四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E为AD中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝，∠GEF＝90°，求GF长．

【答案】（1）DE//BC，DE=BC；（2）GF长为5；（3）GF长为．

【解析】

（1）根据材料提供的思路进行证明即可；

（2）延长GE、FD交于点H，可证得△AEG≌△DEH，结合条件可证明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的长；

（3）过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，可证明△AEG≌△DEH，结合条件可得到△HPD为30度的直角三角形，可求得PF的长，在Rt△HFP中，可求得HF，则可求得GF的长．

解：（1）如图1，在△ABC中，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，

E是AC的中点，

在△ADE和△CFE中

∵

∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴AD=CF，∠A=∠ECF

∴AD∥CF

∵AD=BD

∴BD=CF，

∵BD∥CF

∴四边形DBCF是平行四边形，

∴DE∥BC，DF=BC ∴DE=DF=BC．

故答案为：DE//BC，DE=BC；

（2）如图2，延长GE、FD交于点H，

∵E为AD中点，

∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，

在△AEG和△DEH中，

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG=HD=2，EG=EH，

∵∠GEF=90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，

同（2）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，

∴∠A=∠HDE=100°，AG=HD=2，

∵∠ADC=110°，

∴∠HDF=360°-100°-110°=150°，

∴∠HDP=30°，

∵∠DPH=90°

∴PH=1，PD=，

∵DF=，

∴PF=PD+DF=

在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=1，PF=，

∴HF=

∴GF=FH=

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