Question

已知：△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．

(1)求证：P是△ACQ的外心；

(2)若，求CQ的长；

(3)求证：(FP＋PQ)²＝EP·FG．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵C是的中点，∴＝， 　　∴∠CAD＝∠ABC 　　∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． 　　∴∠CAD+∠AQC＝90° 　　又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ＝90° 　　∴∠AQC＝∠PCQ 　　∴在△PCQ中，PC＝PQ， 　　∵CE⊥直径AB，∴＝ 　　∴＝ 　　∴∠CAD＝∠ACE． 　　∴在△APC中，有PA＝PC， 　　∴PA＝PC＝PQ 　　∴P是△ACQ的外心． 　　(2)解：∵CE⊥直径AB于F， 　　∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC＝，CF＝8， 　　得． 　　∴由勾股定理，得 　　∵AB是⊙O的直径， 　　∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC＝， 　　得． 　　易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴ 　　∴． 　　(3)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90° 　　∴∠DAB+∠ABD＝90° 　　又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G＝90° 　　∴∠DAB＝∠G； 　　∴Rt△AFP∽Rt△GFB， 　　∴，即 　　易知Rt△ACF∽Rt△CBF， 　　∴(或由摄影定理得) 　　∴ 　　由(1)，知PC＝PQ，∴FP+PQ＝FP+PC＝FC 　　∴．