Question

【题目】如图，菱形ABCD中，
（1）若半径为1的⊙O经过点A、B、D，且∠A＝60°，求此时菱形的边长；
（2）若点P为AB上一点，把菱形ABCD沿过点P的直线a折叠，使点D落在BC边上，利用无刻度的直尺和圆规作出直线a．（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接OA，作OE⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵半径为1的⊙O经过点A、B、D，OE⊥AB，
∴∠OAE＝30°，AB=2AE，
∴cos∠OAE=cos30=,
∴AE=，
∴AB=2AE=，
∴菱形的边长为.


（2）解：如图：连接PD，以点P为圆心PD为半径画弧交BC于点D′，连接DD′，过点P作D′D的垂线a，直线a即为所求直线.


【解析】（1）连接OA，作OE⊥AB，由菱形的性质得AB=AD，由等边三角形的判定——有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即△ABD为等边三角形，再根据垂径定理得∠OAE＝30°，AB=2AE，由锐角三角函数得cos∠OAE=cos30°=,即AE=，得AB=2AE=
（2）由菱形和垂直平分线的性质根据题意即可画出图形.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等边三角形的判定和菱形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．