Question

17．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+m（m为常数）的图象与x轴交于A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=-1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a＞0）经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B．
（1）求一次函数及抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上是否存在一点P，使得△PBC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标．
（3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得m的值求得一次函数，进一步求得C点坐标，根据二次函数对称性求得点B点坐标，利用交点式求得抛物线的解析式；
（2）确定对称轴上是否存在一点P，使得△PBC的周长最小，利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；
（3）把△PDE的面积为S看成S_△AOC-S_△DOE-S_△PDC-S_△PEA，设出CD长度，表示出各个三角形的底和高，利用面积建立二次函数求得最值即可．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{2}{3}$x+m经过点A（-3，0），
∴0=2+m，解得m=-2，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-2，
∴C（0，-2）．
∵抛物线y=ax²+bx+c对称轴为x=-1，且与x轴交于A（-3，0），
∴另一交点为B（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
∵抛物线经过 C（0，-2），∴-2=a•3×（-1），解得a=$\frac{2}{3}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x-2；
（2）要使△PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可．如图1，

连接AC交x=-1于P点，因为点A、B关于x=-1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时BP+CP最小（BP+CP最小值为线段AC的长度）．
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），
∴直线AC解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-2，
∵x_P=-1，∴y_P=-$\frac{4}{3}$，即P（-1，-$\frac{4}{3}$）．
（3）如图2，

∵设CD的长为m，△PDE的面积为S
∴D（0，m-2），
∵DE‖PC，直线AC解析式为y=-$\frac{2}{3}$x-2，
∴设直线DE解析式：y=-$\frac{2}{3}$x+m-2，
当y=0时，x=$\frac{3}{2}$m-3，
∴E（$\frac{3}{2}$m-3，0）
S_△PDE=S_△AOC-S_△DOE-S_△PDC-S_△PEA
=3-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$m×$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{3}{2}$m）×（2-m）-$\frac{1}{2}$×m×1
=-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m
=-$\frac{3}{4}$（m-1）²+$\frac{3}{4}$
∴当m=1时有最大值$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，两点间的距离公式、轴对称-最短路线问题等，运算比较复杂，注意解题的灵活性与综合能力的提高．