Question

如图，⊙O与⊙A相交于C、D两点，A、O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点F，连接BD．
求证：
（1）△ACG∽△DBG；
（2）AC²=AG•AB．

Answer 1

分析：（1）根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，得到∠ACG=∠DBG，∠CAG=∠GDB，然后根据相似三角形的判定方法即可得到结论；
（2）根据两圆相交的性质得到连心线OA垂直平分公共弦CD，再根据垂径定理得弧AC=弧AD，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠ACD=∠ABC，而∠CAG=∠BAC，根据相似三角形的判定方法得到△ACG∽△ABC，则AC：AB=AG：AC，利用比例的性质即可得到结论．

解答：解：（1）∵∠ACG=∠DBG，∠CAG=∠GDB，
∴△ACG∽△DBG；
（2）∵⊙O与⊙A相交于C、D两点，A、O分别是两圆的圆心，
∴OA垂直平分CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ACD=∠ABC，
而∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC，
∴AC：AB=AG：AC，
∴AC²=AG•AB．

点评：本题考查了圆的综合题：相交两圆的连心线O垂直平分公共弦；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；运用相似三角形的判定与性质证明等积式是常用的方法．