Question

11．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{20}$，…
（1）根据对上述式子的观察，你会发现$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{□}$+$\frac{1}{○}$．请写出□，○所表示的数；
（2）进一步思考，单位分数$\frac{1}{n}$（n是不小于2的正整数）=$\frac{1}{X}$+$\frac{1}{Y}$，请写出X、Y所表示的式子．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2×3}$、$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3×4}$、$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4×5}$可得$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{5×6}$；
（2）根据以上规律知$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，据此可得．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2×3}$，
$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3×4}$，
$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{4×5}$，
…
∴$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{5×6}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{30}$；

（2）由（1）知，$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴X=n+1，Y=n（n+1）．

点评 本题主要考查数字的变化类，注意从已知入手，分析数据真正的变化情况，是解决问题的关键．