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如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线y1=ax(x-t)(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k>0)

(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A______,k=______;
(2)随着三角板的滑动,当a=数学公式时:
①请你验证:抛物线y1=ax(x-t)的顶点在函数y=数学公式的图象上;
②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;
(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2-y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2-y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

解:(1)∵点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,
∴点A的坐标是(t,4).
又∵直线OA:y2=kx(k为常数,k>0),
∴4=kt,则k=(k>0).

(2)①当a=时,y1=x(x-t),其顶点坐标为(,-).
对于y=来说,当x=时,y=×=-,即点(,-)在抛物线y=上.
故当a=时,抛物线y1=ax(x-t)的顶点在函数y=的图象上;

②如图1,过点E作EK⊥x轴于点K.
∵AC⊥x轴,
∴AC∥EK.
∵点E是线段AB的中点,
∴K为BC的中点,
∴EK是△ACB的中位线,
∴EK=AC=2,CK=BC=2,
∴E(t+2,2).
∵点E在抛物线y1=x(x-t)上,
(t+2)(t+2-t)=2,
解得t=2.

(3)如图2,,则x=ax(x-t),
解得x=+4,或x=0(不合题意,舍去)..
故点D的横坐标是+t.
当x=+t时,|y2-y1|=0,由题意得t+4=+t,
解得a=(t>0).
分析:(1)根据题意易得点A的横坐标与点C的相同,点A的纵坐标即是线段AC的长度;把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值;
(2)①求得抛物线y1的顶点坐标,然后把该坐标代入函数y=,若该点满足函数解析式y=,即表示该顶点在函数y=图象上;反之,该顶点不在函数y=图象上;
②如图1,过点E作EK⊥x轴于点K.则EK是△ACB的中位线,所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标,把点E的坐标代入抛物线y1=x(x-t)即可求得t=2;
(3)如图2,根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是+4.则t+4=+4,由此可以求得a与t的关系式.
点评:本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点.解题时,注意“数形结合”数学思想的应用.
练习册系列答案
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(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A________,k=________;

(2)随着三角板的滑动,当a=时:

①请你验证:抛物线y1=ax(x-t)的顶点在函数y=-x2的图象上;

②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;

(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2-y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2-y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

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科目:初中数学 来源: 题型:

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(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A (t,4) ,k= (k>0) 

(2)随着三角板的滑动,当a=时:

①请你验证:抛物线y1=ax(x﹣t)的顶点在函数y=的图象上;

②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;

(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(湖北宜昌卷)数学(解析版) 题型:解答题

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(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A      ,k=      

(2)随着三角板的滑动,当a=时:

①请你验证:抛物线的顶点在函数的图象上;

②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;

(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.

 

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