Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．
（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理及平行线的性质不难求解；
（2）要使DE是圆的切线，那么D就是求点，AD⊥DE，又根据AD过圆心O，BC∥ED，根据垂径定理可得出D应是弧BC的中点．
（3）可通过构建直角三角形来求解，连接BO、AO，并延长AO交BC于点F，根据垂径定理BF=CF，AF=R+OF，那么直角三角形OBF中可以用R表示出OF，OB，然后根据勾股定理求出半径的长．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠E，
∴∠E=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠E；

（2）解：当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线（如图1）．
理由是：∵当点D是弧BC的中点时，AB=AC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AD是直径，
∴AD⊥BC，
∴AD过圆心O，
又∵DE∥BC，
∴AD⊥ED．
∴DE是⊙O的切线；

（3）解：过点A作AF⊥BC于F，连接BO（如图2），
则点F是BC的中点，BF=

1

2

BC=3，
连接OF，则OF⊥BC（垂径定理），
∴A、O、F三点共线，
∵AB=5，
∴AF=4；
设⊙O的半径为r，在Rt△OBF中，OF=4-r，OB=r，BF=3，
∴r²=3²+（4-r）²
解得r=

25

8

，
∴⊙O的半径是

25

8

．

点评：本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质，垂径定理等知识点，正确运用好圆心角，弧，弦的关系是解题的关键．