Question

【题目】如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．

求：
（1）P到OC的距离．
（2）山坡的坡度tanα．
（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan37°≈0.60）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．

在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，

∴BD=PDtan∠BPD=PDtan26.6°；

在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=31°，

∴CD=PDtan∠CPD=PDtan31°；

∵CD﹣BD=BC，

∴PDtan31°﹣PDtan26.6°=40，

∴0.60PD﹣0.50PD=40，

解得PD=400（米），

∴P到OC的距离为400米

（2）

解：在Rt△PBD中，BD=PDtan26.6°≈400×0.50=200（米），

∵OB=240米，

∴PE=OD=OB﹣BD=40米，

∵OE=PD=400米，

∴AE=OE﹣OA=400﹣300=100（米），

∴tanα= =0.4，

∴坡度为0.4．

【解析】（1）过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PDtan26.6°；解Rt△CPD，得出CD=PDtan31°；再根据CD﹣BD=BC，列出方程，求出PD=400即可求得点P到OC的距离；（2）利用求得的线段PD的长求出PE=40，AE=100，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．